Многомерный анализ
Многомерный анализ
Мы сравнили рост пигмеев итури и тутси. Различие между сред-ними значениями дает нам показатель их несходства в том отношении, который зрительно можно представить как расстояние между пиками распределений. Поскольку распределения основаны на выборках, этот показатель представляет собой лишь примерную оценку истинного различия популяций; тем не менее его адекватность может быть оценена по величине стандартной ошибки.
Определенный метрический признак может представлять интерес сам по себе; если же мы хотим сравнить в целом две популяции, то нам следует исходить не из одного, а из многих признаков. Тогда для обобщения результатов нам понадобится мера расстояния, учитывающая много переменных (признаков). Нелегко установить, как эти признаки должны быть выбраны, однако их число должно быть достаточно большим, чтобы не был придан необоснованно большой вес одному из признаков. Кроме того, они не должны сильно коррелировать друг с другом — в противном случае большая доля информации будет повторяться. (Слово «информация» применено здесь в разговорном, а не в строго математическом смысле.) Если нас инетересуют общие различия, то размеры тела — не самый удачный из признаков, поскольку они подвержены влиянию среды. Многомерный анализ
Лучше сравнить частоты аллелей для ряда хорошо известных генных локусов, которые, например, будут рассмотрены при обсуждении биохимической изменчивости и групп крови. Нам следует допустить, что эти локусы, которые оказались хорошо изученными благодаря удобству работы с кровью, Многомерный анализпредставительны в отношении генома в целом.
Две или более популяции, для которых были измерены по две переменных, можно представить геометрически Они изображаются точками на плоскости, положение которых определяется значениями координат. Расстояние d между любой
парой точек можно найти по теореме Пифагора. Такой способ представления данных можно распространить на трехмерный случай (но не на большое число измерений), хотя само понятие о расстоянии и математический аппарат, использующийся для его определения, остаются приложимыми и к очень большому числу измерений (признаков).К числу первых и простейших показателей «многомерного расстояния» относится коэффициент сходства рас (Cf,) Карла Пирсона (К. Pearson). По существу, он представляет собой среднее квадратов разностей между рядом средних величин для двух популяций. Различные измерения весьма разнятся по величине (например, рост и высота носа), поэтому удобно пронормировать их, выразив каждый в единицах стандартного отклонения. В такой стандартизованной форме С для популяций j ж к можно записать как
где xif — среднее значение для признака в популяции /, п — число признаков, а 2 означает суммирование по всем признакам. Как показал Пенроуз, ценность С% заключается в том, что его можно подразделить на две нескоррелированные компоненты — размер CQ И форму С%, измеряющие соответственно различия в общем размере и различия, остающиеся после устранения влияния фактора размера.
Эти показатели легко вычислить; обычно вычисленные результаты хорошо согласуются с результатами более строгих, но и более трудоемких методов. Нанеся на график показатели размера и формы для ряда популяций, как это сделано на рис. 14.5, получаем наглядную картину сходства и различий*
Недостатком коэффициента С2Н является то, что он не учитывает корреляций между показателями и, следовательно, включает лишнюю информацию. Этого недостатка нет у обобщенного расстояния D2 по Махаланобису, так как благодаря преобразованию переменных влияние таких корреляций устраняется. Вычисление этого показателя оказалось делом весьма трудоемким, но здесь помогло внедрение в практику ЭВМ.Располагая данными о большом числе популяций и рассчитав величины D2 для каждой пары популяций, мы получим таблицу (матрицу) значений; при этом наглядно представить общую картину межпопуляционных различий довольно трудно. Точки, соответствующие популяциям, располагаются в многомерном пространстве, и мы не можем нанести их непосредственно на двумерный график, не исказив расстояний и не утеряв часть информации. Однако созданный Крускалом (Kruskal) метод многомерного шкалирования — одно из средств преодолеть эту трудность. Разброс точек в многомерном пространстве концентрируется в основном по двум-трем осям, для выявления которых существует ряд сходных метолем; в этой связи было предложено несколько методов. На практике все они дают сходные результаты. |
